中国古代数学问题——僧吃馒头

2021-06-11 15:22 · 徐小明的博客 · 3次阅读

100个和尚吃100个馒头

      教版五年级数学有这样一题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是100个和尚分100个馒头,大和尚每人分3个,小和尚3人分1个,求大、小和尚各几人?

    这道题的解法有好多种:

方程法

一元一次方程

设大僧为x个,则小僧为100-x

3x+(100-x)/3=100

解方程得x=25

所以设大僧25个,小僧75个.

也可以设小僧x个,则大僧100-x

(100-x)×3+1/3x=100

解方程得x=75

所以设小僧75个,大僧25个.

二元一次方程

解:设大僧为x个,小僧为y个.

x+y=100

3x+y/3=100

解方程组得x=25 y=75

所以大僧25个,小僧75个.

列表法

     因为僧和馒头为整数,且3个小僧分一个馒头,则小僧人数为3的倍数最大不超过100,所以小僧人数最多99个。大僧1个分3个馒头。

     因为1个大僧分3个馒头,100个馒头最多分给33个大僧,则小僧最少67个,又因小僧3人分1个馒头,小僧人数是3的倍数,则小僧最少69人. 100个和尚吃100个馒头

鸡兔同笼法

     假设都是大僧,每僧分3个馒头则分300个馒头,差了200个馒头。因为我们把小僧看成了大僧,每把1个小僧看成一个大僧就多吃(3-1/3)个馒头,所以小僧人数为:

(3×100-100)÷(3-1/3)=75

     假设都是小僧,每3个小僧吃1个馒头则吃三十三又三分之一个馒头,余了六十六又三分之二个馒头。因为我们把大僧看成了小僧,每把1个大僧看成1个小僧就余(3-1/3)个馒头,所以大僧人数为:

(100-100÷3)÷(3-1/3)=25

  大僧25,小僧75

此方法五年级学生不会分数除法,做不了。

用整数计算

     因为1个大僧分3个馒头,3个小僧分得1 个馒头,所以1个大僧分得的馒头是小僧的9倍,也就是说1 个大僧分得的馒头能分给9个小僧。

     假设100个馒头都分给小僧,则能分给300个小僧,多了200个僧。因为我们把大僧看成了小僧,每当我们把1个大僧看成小僧则够9个小僧分的,则增加8个僧。200里有几个8,则把多少个大僧看成了小僧:

(100×3-100)÷(3×3-1)=25

  小僧为100-25=75

去分母法

     小僧3人分1个馒头我们可以把一个馒头看成三份1个小僧分一份馒头,那么一个大僧分的馒头就是9份,这个题目就变成了100个僧分300份馒头,大僧一人分9份,小僧一人分1份。

     假设100个僧都是大僧的话,他们共要分掉900份馒头,而实际上只分了300份,比实际多算了900-300=600份,因为我们把小僧也看成了大僧,每当把1小僧看成大僧就要多算9-1=8份,一共多算了600份,可以知道有600÷8=75个小僧当成大僧,也就是有75个小僧,25个大僧。

探讨

     有的学生这样做:

100÷(3+1)=25    100-25=75      得数与答案相符但不知对错。

我认为:

大僧人数+小僧人数=100,因为小僧3人分1个馒头,所以小僧人数是3的倍数,也可以说:3的倍数+一个数=100.

大僧分的馒头数+小僧分的馒头数=100,因为大僧分的馒头数是3的倍数(大僧1人分3个馒头),也可以说:3的倍数+一个数=100.

因为3的倍数(小僧人数 )+一个数(大僧人数)=3的倍数(大僧分的馒头数)+一个数(小僧分的馒头数)=100.

我们可以得出一定存在着下面这种关系:

小僧分的馒头数=大僧人数,小僧人数=大僧分的馒头数=大僧人数的3倍,

大僧人数:100÷(3+1)=25

小僧人数:100-25=75  或25×3=75

100个和尚吃100个馒头

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